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letztes Update: 22. Oktober 2024
Wichtige Schnell-Links
PrimzahltestPrimzahlgenerator
Liste der Primzahlen von 2 bis 100003
2 ^ 37156667 - 1 ist eine Primzahl
Biographien grafische Darstellung
Meldungen
07.12.2018 51. bekannte Mersenne-Primzahl wahrscheinlich gefunden
22.05.2013 Harald Helfgott: Beweis für die schwache Goldbach-Vermutung ?
22.05.2013 Chinese hat wohl ältestes mathematisches Rätsel im Ansatz gelöst
08.01.2010 Forscher zerlegen riesige Zahl in Primfaktoren RSA768 zerlegt
10.06.2009 47. bekannte Mersenne-Primzahl (wahrscheinlich) gefunden
12.10.2008 gigantischer Primzahldrilling wahrscheinlich gefunden
16.09.2008 45. und 46. bekannte Mersenne-Primzahlen gefunden
11.- 14.09.2008 45. und 46. bekannte Mersenne-Primzahlen gefunden
06.09.2008 45. und 46. bekannte Mersenne-Primzahlen (wahrscheinlich) gefunden
23.08.2008 45. bekannte Mersenne-Primzahl (wahrscheinlich) gefunden
22.05.2007 Zahlenknacker melden Rekordzerlegung in Primfaktoren
10.05.2005 Forscher zerlegen riesige Zahl in Primfaktoren RSA200 zerlegt
12.08.2002 Primzahlen-Problem gelöst? Neuer Algorithmus gefunden ?
52. bekannte Mersenne-Primzahl gefunden
22.10.2024: Am 12. Oktober 2024 wurde die 52. bekannte Mersennesche Primzahl 2136279841-1 , eine Zahl mit 41024320 Ziffern, entdeckt. Sie ist nun die größte bekannte Primzahl. Diese Zahl wurde jetzt bestätigt.
Luke Durant aus San Jose in Kalifornien hat diese 52. bekannte Mersennesche Primzahl entdeckt. Der ehemalige Nvidia-Mitarbeiter fand die Primzahl unter Verwendung von GPUs (Nvidia-A100-GPU). (Quelle: http://www.mersenne.org)nach oben
51. bekannte Mersenne-Primzahl gefunden
22.12.2018: Am 7. Dezember 2018 wurde die 51. bekannte Mersennesche Primzahl 282589933-1 , eine Zahl mit 24862048 Ziffern, entdeckt. Sie ist nun die größte bekannte Primzahl. Diese Zahl wurde jetzt bestätigt.
Patrick Laroche aus Ocala in Florida hat diese 51. bekannte Mersennesche Primzahl entdeckt. Er benutzte Prime95 zunächst als Stresstest für seine selbst zusammengebauten Computer. Vor 4 Monaten installierte er das Programm auf seinem MediaServer und wurde jetzt bei dem 4. Primzahlkanditen fündig. (Quelle: http://www.mersenne.org)nach oben
51. bekannte Mersenne-Primzahl gefunden
09.12.2018: Am 7. Dezember 2018 wurde die 51. bekannte Mersennesche Primzahl 282589933-1 , eine Zahl mit 24862048 Ziffern, entdeckt. Sie ist nun die größte bekannte Primzahl. Diese Zahl ist noch unbestätigt.
(Quelle: PrimeNet [primenet@mersenne.org])nach oben
50. bekannte Mersenne-Primzahl gefunden
03.01.2018: Am 26. Dezember 2017 wurde die 50. bekannte Mersennesche Primzahl 277232917-1 , eine Zahl mit 23249425 Ziffern von Jonathan Pace, einem Elektroingenieur aus Germantown Tennessee, USA entdeckt. Sie ist nun die größte bekannte Primzahl.
(Quelle: http://www.mersenne.org)nach oben
49. bekannte Mersenne-Primzahl gefunden
20.01.2016: Die Suche nach einer noch größeren Mersenne-Primzahl durch die Internet-Community GIMPS war nach gut drei Jahren wieder einmal erfolgreich, die neue größte bekannte Primzahl hat 22,3 Millionen Stellen. (...)
Dr. Curtis Cooper und sein Team konnten den vierten Rekord in den letzten zehn Jahren erzielen, zuletzt entdeckten sie vor drei Jahren die bislang bekannte größte Primzahl, die 48. Mersenne-Primzahl. Nun hat er die 49. gefunden, die 5 Millionen Stellen mehr hat. Nach knapp einem Monat Rechenzeit hat es auf einer Intel I7-4790 CPU geklingelt. Das Prime95-Programm meldete: 2 74207281-1, eine Zahl mit 22,3 Millionen Stellen, ist prim. Das war bereits im September 2015, aber durch irgendeinen Bug blieb die Email auf dem Server der Greatest Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) hängen und wurde dort erst im Januar 2016 entdeckt. (Quelle: http://www.heise.de)nach oben
Lotto: Millionengewinn mit Primzahlen
04. Juli 2014: Ein Abospieler aus dem Raum Mülheim/ Oberhausen machte am 31. Mai einen ganz besonderen Tipp und wurde um 23,7 Millionen Euro reicher: Mit den Gewinnzahlen 5-13-17-19-31-41 brachten ihm, ausschließlich Primzahlen, den ganz großen Erfolg. Die Primzahl 5 tauchte sogar als Superzahl erneut auf und vollendete den Triumph des neuen „Primzahlen-Millionärs“ von der Ruhr.
(Quelle: isa-guide.de)nach oben
Harald Helfgott: Beweis für die schwache Goldbach-Vermutung ?
22. Mai 2013: Harald Helfgott von der Ecole normale supérieure in Paris stellt eine Arbeit ins Internet, in der er einen Beweis für die sogenannte schwache Goldbach-Vermutung vorstellt. Die starke Goldbach-Vermutung besagt, dass jede gerade Zahl, die grösser ist als 2, als Summe zweier Primzahlen dargestellt werden kann. Die schwache Vermutung besagt, dass sich jede ungerade Zahl, die grösser ist als 5, als Summe dreier Primzahlen darstellen lässt. Die starke Vermutung impliziert die schwache Version – denn jede ungerade Zahl lässt sich darstellen, indem man die Primzahl 3 zu einer geraden Zahl addiert. Beide Vermutungen wurden im Jahre 1742 in einem Briefwechsel zwischen Leonhard Euler und Christian Goldbach aufgestellt.
Helfgotts Beweis, der allerdings noch von Fachleuten geprüft werden muss, gilt für alle ungeraden Zahlen, die grösser als 10 hoch 30 sind. Da die Vermutung für alle Zahlen zwischen 5 und 10 hoch 30 schon mittels Computern überprüft und für richtig befunden wurde, gilt die schwache Goldbach-Vermutung als bewiesen – vorausgesetzt, Helfgotts Beweis enthält keine Lücken. (Quelle: nzz.ch)nach oben
Chinese hat wohl ältestes mathematisches Rätsel im Ansatz gelöst
22. Mai 2013: Schon seit Jahrtausenden beschäftigen die Menschen mit Primzahlen. Denn Primzahlen sind nur durch sich und eins teilbar. Ein noch ungelöstes Rätsel sind die Primzahlzwillinge. Euklid meinte, es gäbe unzählig viele, jedoch konnte er dies nicht beweisen. Diese Zwillinge treten in einem Abstand von zwei auf - also elf und 13 oder fünf und sieben oder 41 und 43. Yitang Zhang, von der University of New Hampshire, hat es nun geschafft zu beweisen, dass es unzählige Primzahlencousins gibt.
Bei unzähligen Primzahlpaaren beträgt der Abstand höchstens 70 Millionen. Dies hat zwar nicht direkt mit den Zwillingen zu tun, aber für Wissenschaftler ist dies trotzdem ein wichtiger Meilenstein, der entscheidend sein kann. (Quelle: shortnews.de)nach oben
48. bekannte Mersenne-Primzahl gefunden
07. Februar 2013: Schon am 25. Januar 2013 wurde die 48. bekannte Mersennesche Primzahl 2 57885161-1 , eine Zahl mit 17425170 Ziffern von Dr. Cooper, einem Professer aus Missouri, USA entdeckt. Sie ist nun die größte bekannte Primzahl.
Es ist schon seine 3. Mersenne-Primzahl, die er im GIMPS-Projekt(Great Internet Mersenne Prime Search) gefunden hat. Die anderen Zahlen wurden von ihm in 2005 und 2006 entdeckt.
Japaner präsentiert Lösung für Primzahlen-Rätsel
26. September 2012: Der Beweis ist Hunderte Seiten lang - und er lässt Experten weltweit hoffen.
Der japanische Mathematiker Shinichi Mochizuki hat erklärt, eine Lösung für die legendäre abc-Vermutung gefunden zu haben.
Sollte seine Rechnung stimmen, würde sich das Wissen über die mysteriösen Primzahlen enorm erweitern.
Nun hat der japanische Mathematiker Shinichi Mochizuki einen Beweis für die sogenannte abc-Vermutung vorgelegt.
Auch darin geht es um Primzahlen, und zwar um die Beziehungen zwischen ihnen. Die Arbeit Mochizukis hat Mathematiker weltweit aufhorchen lassen.
Denn sollte der Beweis tatsächlich stimmen, würde er manches Problem aus der Zahlentheorie gleich mitlösen - oder zumindest neue Ansätze dafür liefern.
Unter anderem folgt aus der abc-Vermutung direkt der Große Fermatsche Satz - ein Problem, das Mathematiker seit mehr als 300 Jahre zu lösen versuchen.
Der Satz besagt, dass die Gleichung an + bn = cn für n>2 keine Lösung für natürliche Zahlen a, b, c besitzt.
Formuliert hatte ihn bereits im 17. Jahrhundert der Mathematiker Pierre de Fermat, der Beweis gelang erst 1994.
Die abc-Vermutung ist etwas komplizierter als der Große Fermat, aber trotzdem noch gut zu verstehen.
Auch darin geht es um drei natürliche Zahlen a, b und c, wobei c die Summe aus a und b ist und alle drei Zahlen keine gemeinsamen Teiler besitzen.
Für Zahlentheoretiker ist die abc-Vermutung von großem Interesse. "Hier kommen die beiden Welten Addition und Multiplikation zusammen", sagt Jürg Kramer,
Mathematiker an der Humboldt-Universität Berlin. In a, b und c steckten unterschiedliche Primfaktoren - und es gelte gleichzeitig die Beziehung a + b = c.
"Addition und Multiplikation werden gewissermaßen verquickt, und das macht es auch so schwierig", erklärt Kramer.
Wie vertrackt das Addieren von Primzahlen sein kann, zeigt das einfache Beispiel 17 + 19. Beide Summanden sind
Primzahlen - ihre Summe 36 ist hingegen eine aus Sicht von Zahlentheoretikern eher langweilige Zahl - nämlich das Produkt 2*2*3*3.
Die Summe zweier ungewöhnlicher Zahlen kann also eine ganz gewöhnliche Zahl sein. Es lässt sich kaum vorhersagen, welche Primfaktoren in dieser Summe stecken.
"Das ist eine ganz chaotische Situation", sagt Kramer.
(Quelle: spiegel.de)
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Weltrekord: Forscher zerlegen riesige Zahl in Primfaktoren RSA768 zerlegt
08. Januar 2010: In einer Gemeinschaftsaktion haben internationale
Institute einen 768-Bit-Schlüssel geknackt. Schon bald wollen sie den
1024-Bit-Schlüssel auslesen. Experten warnen vor großen Sicherheitslücken.
Die heute gebräuchlichen Schlüssel zur Sicherung etwa von Kreditkartennummern
im Internet könnten nach Erkenntnissen von Forschern schon in einigen
Jahren unsicher werden. Ein internationales Team unter Bonner Beteiligung hat
jetzt einen 768 Bit langen Schlüssel geknackt. Das sei eine Zahl mit 232
Stellen und damit Weltrekord, teilte die Universität Bonn am Freitag mit.
Damit sind die Forscher dem aktuell gängigen Schlüssel von 1024 Bit
schon ein Stück näher gekommen. Die Forscher nutzten ein Computernetzwerk.
Auf einem herkömmlichen PC hätte das Knacken dieses Schlüssels
nach ihren Angaben rund 2.000 Jahre gedauert.
Viele Verfahren zur Verschlüsselung sensibler Daten beruhen darauf, dass
es äußerst schwierig ist, große Zahlen in ihre sogenannten
Primfaktoren zu zerlegen. Primfaktoren sind diejenigen Primzahlen, die multipliziert
die gesuchte Zahl ergeben. So hat etwa die Zahl 21 die Primfaktoren 3 und 7
(3 mal 7 gleich 21). Drei US-Forscher entwickelten 1977 ein Verfahren zur Datenverschlüsselung
und nutzten es später auch kommerziell. Ihre nach ihren Initialen "RSA"
genannte Technik steckt inzwischen in jedem Internet-Browser. Ein kleines Programm
verschlüsselt dort etwa Kreditkartennummern so, dass böswillige Lauscher
mit ihnen nichts anfangen können.
Die jetzt geknackte Zahl trägt die nüchterne Bezeichnung RSA-768,
das heißt, sie hat 768 Bit. In Dezimalschreibweise entspricht das 232
Stellen. Damit handelt es sich um das größte Zahlenungetüm
von allgemeiner Form, das bislang in seine Primfaktoren zerlegt wurde. "Die
Zerlegung eines 1024-Bit-Schlüssels wäre um drei Größenordnungen
schwieriger als das jetzt abgeschlossene Projekt", sagte Prof. Jens Franke
vom Institut für Mathematik der Universität Bonn. Dennoch werde der
erste 1024-Bit-Schlüssel vermutlich noch vor Ende des Jahrzehnts geknackt.
(Quelle: dpa)
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47. bekannte Mersenne-Primzahl gefunden
12. Juni 2009: Schon am 12. April 2009 wurde die 47. bekannte Mersennesche Primzahl 2 42643801-1 , eine Zahl mit 12837064 Ziffern von Odd Magnar Strindmo aus Melhus, Norwegen entdeckt. Sie ist die zweitgrößte bekannte Primzahl, "nur" 141.125 Stellen kleiner als die größte Mersenne Primzahl, die letzten August gefunden wurde.
Odd ist ein IT-Profi, dessen Computer im GIMPS-Projekt(Great Internet Mersenne Prime Search) seit 1996 schon 1400 Zahlen getestet haben. Die zum Erfolg führende Berechnung dauerte 29 Tage auf einem Intel Core2Duo 3,0 GHz Rechner.
47. bekannte Mersenne-Primzahl (wahrscheinlich) gefunden
10. Juni 2009: Das GIMPS-Projekt (Great Internet Mersenne Prime Search) vermeldet auf seiner Homepage die Entdeckung der 47. Mersenne'schen Primzahl.
Erster gigantischer Primzahldrilling wahrscheinlich gefunden
12. Oktober 2008:Norman Luhn fand ein Primzahldrilling (wahrscheinlich) mit genau 10047 Stellen. Das Primzahlentupel lautet p=2072644824759 * 233333 -1, p+2,p+6. Mit freundlicher Unterstützung von Francois Morain aus Frankreich, wird für die dritte Zahl p+6 ein Echtheitszertifikat mittels ECPP berechnet, da es sich im Moment nur um ein wahrscheinliche Primzahl handelt. Eine Rekordauflistung aller bisherigen Primzahlentupel findet man auf der englischsprachigen Webseite http://anthony.d.forbes.googlepages.com/ktuplets.htm
45. und 46. bekannte Mersenne-Primzahl gefunden
16. September 2008:GIMPS-Projekt (Great Internet Mersenne Prime Search) schreibt auf seiner Seite www.mersenne.org folgendes:
Am 23. August entdeckte ein Computer der UCLA [Universität
von Kalifornien, Los Angelos] die 45. bekannte Mersenne'sche Primzahl, 243.112.609-1, eine Monsterzahl mit 12.978.189 Ziffern! Die
Primzahl erfüllt die Bedingungen des Electronic Frontier Foundation $100,000 Preisesfür die Entdeckung der ersten Primzahl mit mehr als 10 Millionen
Ziffern. Glückwunsch an Edson
Smith, der für die Installation und Pflege der GIMPS-Software auf den
Computern des UCLA Mathematics Department ist.
Am 6. September fand
Hans-Michael Elvenich in Langenfeld bei Köln
die 46. bekannte Mersenne'sche Primzahl,
237.156.667-1,
eine Zahl mit 11.185.272 Ziffern. Sei
Colquitt und Welsh im Jahre 1988 2110.503<-1 fanden ist dies die erste Mersene'sche Primzahl, die nicht in der
'richtigen Reihenfolge' gefunden wurde.
Die Jagd nach dem EFF Preis kam damit nach einem Jahrzehnt mit einem knappen
Einlauf zu Ende - nur zwei Wochen lagen zwischen den Funden der beiden Primzahlen.
Wie versprochen gibt GIMPS $50.000 des EFF Preises an das UCLA Mathematics
Department für die Entdeckung der ersten Primzahlen mit 10 Millionen Stellen.
$25.000 werden für wohltätige Zwecke bereitgestellt, und der Rest
wird hauptsächlich an die Entdecker der vorhergehenden Mersenne'schen
Primzahlen gehen.
In Anerkennung der jeweiligen Entdecker, der GIMPS-Leiter und aller Teilnehmer
an der GIMPS werden die Entdeckungen "Edson Smith, George Woltman, Scott
Kurowski, et al.", und "Hans-Michael Elvenich, George Woltman, Scott
Kurowski, et al." zugeschrieben werden.
Edson Smith arbeitet seit 27 Jahren in der Computerindustrie und seit 10 Jahren
als Computing Manager für das UCLA Mathematics Department. Im letzten
Herbst ersetzte er die Bildschirmschoner des Computersaals mit prime95 - treffend
für ein Mathematics Department. UCLA hat eine lange Geschichte in der
Entdeckung von Mersenne'schen Primzahlen. Dr. Raphael Robinson hat 1952 fünf Mersenne'sche Primzahlen am UCLA
entdeckt, und Alex Hurwitz fand
1961 noch zwei weitere.
Hans-Michael Elvenich ist ein 44jähriger Elektroingenieur bei Lanxess, einem Spezialchemie-Konzern. Er ist Primzahl-Enthusiast und betreibt
die Webseite www.primzahlen.de.
Beide Primzahlen wurden zuerst von Tom
Duell (Burlington, MA, USA) und Rob
Giltrap (Wellington, Neuseeland), beide von Sun Microsystems, unter Benutzung
des Mlucas-Programmes von Ernst
Mayer (Cupertino California USA) überprüft. Die Überprüfungen
liefen auf den 8 dual-core SPARC64 VI 2.15Ghz CPUs des Sun SPARC Enterprise
M5000 Server und den 4 quad-core SPARC64 VII 2.52GHz CPUs eines Sun SPARC Enterprise
M8000 Server in Menlo Park, CA, USA. Die erste der Überprüfungen
dauerte 13 Tage, die zweite fünf Tage.
Beide Primzahlen wurden unabhängig überprüft, und zwar von Tony Reix von Bull SAS in Grenoble, Frankreich
mit den 16 1.6 GHz Itanium2 CPUs eines Bull NovaScale 6160 HPC server und des
Glucas-Programmes. Jeff Gilchrist von der Carleton University in Ottawa, Kanada
hat auch eine Primzahl überprüft und ist fast fertig mit der Überprüfung
der zweiten mit den 16 1.6 GHz Itanium2 CPUs eines Server bei SHARCNET. Auch
er benutzt das Glucas-Programme von Guillermo Ballester Valor aus Granada,
Spanien.
Bei Perfectly Scientific, Dr. Crandall's
Firma die den von GIMPS verwandten FFT-Algorithmus entwickelt hat, gibt es
auch ein Poster mit allen 12,9
bzw, 11,1 Millionen Ziffern das man bestellen kann. Zum Entziffern braucht
man allerdings eine große Lupe!
Originaltext:
On August 23rd, a UCLA computer discovered the 45th known Mersenne prime,
243,112,609-1, a mammoth 12,978,189 digit number! The prime number
qualifies for the Electronic Frontier Foundation's $100,000 award for discovery
of the first 10 million digit prime number. Congratulations to Edson Smith,
who was responsible for installing and maintaining the GIMPS software on the
UCLA Mathematics Department's computers.
On September 6th, the 46th known Mersenne prime, 237,156,667-1,
a 11,185,272 digit number was found by Hans-Michael Elvenich in Langenfeld
near Cologne, Germany! This was the first Mersenne prime to be discovered out
of order since Colquitt and Welsh discovered 2110,503-1 in 1988.
The nearly decade long quest for the EFF award came down to a close race to
the finish - with just two weeks separating the discovery of the two primes.
As promised, GIMPS will give $50,000 of the EFF award to the UCLA Mathematics
Department for discovering the first 10 million digit prime. $25,000 will go
to charity, and most of the remainder will go to discoverers of the previous
six Mersenne primes.
In recognition of the individual discoverers, the GIMPS project leaders, and
every GIMPS participant's contributions, credit for the two primes goes to
"Edson Smith, George Woltman, Scott Kurowski, et al", and "Hans-Michael
Elvenich, George Woltman, Scott Kurowski, et al".
Edson Smith has worked in the IT industry for 27 years and the last 10 years
as the Computing Manager for the UCLA Mathematics Department. Last Fall he
replaced the Lab's screen savers with prime95 - a perfect fit for the Mathematics
Department. UCLA has a rich history in the discovery of Mersenne primes. Dr.
Raphael Robinson found five Mersenne primes at UCLA in 1952 and Alex Hurwitz
found two more in 1961.
Hans-Michael Elvenich is a 44 year old Electrical Engineer working for Lanxess,
a chemical company. He is a prime number enthusuast and is the owner and operator
of www.primzahlen.de.
In German, prime numbers are called "primzahlen".
Both primes were first verified by Tom Duell (Burlington, MA, USA) and Rob
Giltrap (Wellington, New Zealand), both of Sun Microsystems, using the Mlucas
program by Ernst Mayer of Cupertino California USA. The verifications ran on
8 dual-core SPARC64 VI 2.15Ghz CPUs of a Sun SPARC Enterprise M5000 Server
and 4 quad-core SPARC64 VII 2.52GHz CPUs of a Sun SPARC Enterprise M8000 Server
in Menlo Park, CA, USA. The first prime verification took 13 days, the second
prime took 5 days.
Both primes were also independently verified by Tony Reix of Bull S.A. in Grenoble,
France using 16 1.6 GHz Itanium2 CPUs of a Bull NovaScale 6160 HPC server and
the Glucas program. Jeff Gilchrist of Carleton University in Ottawa, Canada
has also verified one prime and is nearly finished with verifying the other
using up to 16 1.6 GHz Itanium2 CPUs of a server at SHARCNET, running the Glucas
program by Guillermo Ballester Valor of Granada, Spain.
Perfectly Scientific, Dr. Crandall's company which developed the FFT algorithm
used by GIMPS, will make posters you can order containing all 12.9 and 11.1
million digits. You'll need a good magnifying glass to read the tiny, tiny
print!
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45. und 46. bekannte Mersenne-Primzahl gefunden
11. - 14. September 2008: Das GIMPS-Projekt (Great Internet Mersenne Prime Search) bestätigt auf seiner Homepage die Entdeckung der 45. Mersenne'schen Primzahl und der 46. Mersenne'schen Primzahl.
Die beiden Zahlen haben schon erfolgreich die 1. unabhängige Prüfung bestanden. Diese unabhängigen Prüfungen wurden von Tom Duell (Burlington, MA, USA) und Rob Giltrap (Wellington, New Zealand) getätigt.
Wer diese Primzahlen im GIMPS-Netzwerk gefunden hat ist weiterhin
unklar. Dies soll Anfang der nächsten Woche erst veröffentlicht werden.
Auch über die Größe der Zahlen kann bis dahin nur spekuliert
werden.
Der Countdown läuft........ Morgen bzw. Anfang der Woche soll bei www.mersenne.org bekannt gegeben werden, wer und wo die neuen 45. und 46. Mersenne Primzahlen
gefunden hat.
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45. und 46. bekannte Mersenne-Primzahl (wahrscheinlich) gefunden
06. September 2008: Das GIMPS-Projekt (Great Internet Mersenne
Prime Search) vermeldet auf seiner Homepage die Entdeckung der 45. Mersenne'schen
Primzahl und der 46. Mersenne'schen Primzahl.
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45. bekannte Mersenne-Primzahl (wahrscheinlich) gefunden
23. August 2008: Das GIMPS-Projekt (Great Internet Mersenne
Prime Search) vermeldet auf seiner Homepage die Entdeckung der 45. Mersenne'schen
Primzahl.
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Zahlenknacker melden Rekordzerlegung in Primfaktoren
21. Mai 2007: Schon seit Jahren ist es Sport der Mathematiker
um Professor Dr. Jens Franke und
Dr. Thorsten Kleinjung
an der Rheinischen Friedrich-Wilhelm-Universität zu Bonn immer größere
Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen. Solche großen zusammengesetzten Zahlen,
insbesondere die RSA-Zahlen (nach Rivest, Shamir, Adelman) werden für
Verschlüsselungsverfahren eingesetzt, und die Firma RSA Laboratories hatte
eine Challenge-Liste veröffentlicht, verbunden mit einem – je nach
Größe – wachsenden Preisgeld von 10.000 bis 200.000 US-Dollar.
Die Bonner waren bei der Rekord-Jagd mehrmals erfolgreich und zerlegten im
Dezember 2003 den RSA-576 und im November 2005 RSA-640.
Nun hat sich das japanische Telekommunikationsunternehmen NTT
zusammen mit den Bonnern und ihrem Kollegen von der Polytechnischen Hochschule
in Lausanne, Arjen Lenstra (übrigens ein Bruder des ebenfalls sehr bekannten
Zahlentheoretikers Hendrik Lenstra), an die Aufgabe gemacht, die Mersenne-Zahl
21039–1 genauer zu untersuchen. Die entlarvt sich, wie man spätestens
auf den zweiten Blick sieht, als zusammengesetzt, mit 5080711 als einfachem
Teiler. Aber über den 307-stelligen Koteiler (siehe unten) wusste man
bislang noch nichts. Elf Monate ackerten die Rechner (überwiegend in Japan),
bis jetzt eine Zerlegung in zwei 80- und 227-stellige Primzahlen gefunden wurde.
Die von Ajren Lenstra und den Bonner Mathematikern entwickelte Methode GNFS
(General Number Field Sieve) arbeitete dabei in vier Schritten:
Kandidatensuche (Rechenzeit: 125,7 Opteron-248-Jahre),
Siebberechnung (Rechenzeit 95 Pentium-D-Jahre),
Lineare Algebra (zwei Cluster des NTT mit 146 PCs rechneten zwei Monate)
Wurzelziehen (wenige Stunden auf dem PC-Cluster der Uni Bonn)
Mit 1017 Binärstellen ist der zerlegte Koteiler nahezu genauso groß
wie die noch zur Fahndung ausgeschriebene RSA-1024-Zahl. 1024 Bit ist die derzeit
übliche Schlüssellänge.
Als Teiler einer Mersenne-Zahl hat der Koteiler jedoch eine bestimmte Struktur,
die das Aufspüren weiterer Faktoren vereinfacht. Für zufällige
Zahlen, so betont Kleinjung, schafft man es mit ihrer Methode vielleicht, Schlüssel
mit 700 Binärstellen in mehreren Monaten zu knacken. Hier steht also als
Herausforderung RSA-704 an. Bis man RSA-1024 wirklich knacken kann, wird es
nach Kleinjungs Meinung noch viele Jahre dauern.
Allerdings wird es jetzt kein Preisgeld mehr geben, die Auslobung der RSA Laboratories
ist inzwischen ausgelaufen. Wer dennoch ein bisschen experimentieren will,
hier die von NTT, Kleinjung, Lenstra und Co zerlegte 307-stellige Zahl:
115942057407257306436980714887689464075389979170201772498686835353882248385
996675660800060954080051794720539932612302048744028604353028619141014409345
351233471273967988850226307575280937916602855510550042581077117617761009413
797078797380618700843777718682868088984471282200293520180607475545154137071
1023817
und die Lösung:
5585366661993629126074920465831594496864
6527018488637648010052346319853288374753
×
2075818194644238276457048137035946951629
3970800739520988120838703792729090324679
3823431438841448348825340533447691122230
2815832769652537609141018910524199389933
4109711624358962065972167481161749004803
659735573409253205425523689
(Quelle: www.heise.de)
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44. bekannte Mersenne-Primzahl gefunden
12. September 2006: Am 4. September entdecken Dr. Curtis Cooper und Dr. Steven Boone, beide Professoren an der Central Missouri State Universität die 44. bekannte Mersenne Primzahl, 232.582.657-1. Damit entdeckte das CMSU Team zum zweiten Mal hintereinander die größte bekannte Primzahl.
Diese Zahl hat 9808358 Dezimalstellen und verpasst damit knapp das Preisgeld von 100000$. Der Electronic Frontier Foundation $100,000 Preis wird erst bei größer 10000000 Dezimalstellen gezahlt.
Lightning strikes twice. On September 4, 2006, in the same
room just a few feet away from their last find, Dr. Curtis Cooper and Dr. Steven
Boone's CMSU team broke their own world record, discovering the 44th known
Mersenne prime, 232,582,657-1. The new prime at 9,808,358 digits
is 650,000 digits larger than their previous record prime found last December.
However, the new prime falls short of the 10 million digits required for GIMPS
to claim the Electronic Frontier Foundation $100,000 award.
(Quelle: www.Mersenne.org)
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44. bekannte Mersenne-Primzahl (wahrscheinlich) gefunden
4. September 2006: Das GIMPS-Projekt (Great Internet Mersenne Prime Search) vermeldet auf seiner Homepage die Entdeckung der 44. Mersenne'schen Primzahl.
Erst wenn ihre Primalität durch eine unabhängige Berechnung bestätigt ist, wird die Zahl bekannt gegeben. Dies wird meist innerhalb von 10 Tagen geschehen.
Vielleicht ist nun das Preisgeld vergeben für eine Primzahl mit mindestens 10.000.000 Dezimalstellen.
On September 4, 2006, a computer reported finding the 44th known Mersenne prime. Verification will begin shortly, probably taking a week or so to complete. If it is verified, this will be GIMPS' tenth prime!
43. Mersenne-Primzahl gefunden
Am 15. Dezember entdecken Dr. Curtis Cooper und Dr. Steven
Boone, beide Professoren an der Central Missouri State Universität die
43. Mersenne Primzahl, 230402457-1. Das CMSU Team ist sehr erfolgreich im GIMPS Project. Nun ist es
die größte bekannte Primzahl.
Die neue Primzahl hat 9.152052 Ziffern. Damit ist klar, dass der Millennium
Award für die erste Primzahl jenseits der 10-Millionen-Ziffern-Schallmauer
immer noch nicht vergeben werden wird. Die neue Primzahl ist in nur 5 Tagen
von Tony Reix of Bull S.A. in Grenoble, Frankreich überprüft worden.
Benutzt wurden dazu 16 Itanium2 1.5 GHz CPUs eines Bull NovaScale 6160 HPC
im Bull Grenoble Research Center, mit einem Programm Glucas von Guillermo Ballester
Valor Granada, Spanien.
43. Mersenne-Primzahl (wahrscheinlich) gefunden
Ein Teilnehmer der Great Internet Mersenne Prime Search scheint
die 43. Mersennesche Primzahl gefunden zu haben. Wie ihre Vorgänger ist
die vermutete Primzahl von der Form 2n-1, wobei n selbst notwendigerweise eine
Primzahl ist. Bis zum 25. Dezember wird die Primeigenschaft nun überprüft;
wie üblich werden anschließend erst die Zahl und weitere Einzelheiten
bekannt gegeben.
Quelle: www.heise.de
Bisher ist über die Zahl nur bekannt, dass sie, im Gegensatz zu sonstigen
neuen Mersenneprimzahlentdeckungen, kleiner als die zuletzt entdeckte Mersenneprimzahl
ist. Damit ist klar, dass der Millennium Award für die erste Primzahl
jenseits der 10-Millionen-Ziffern-Schallmauer immer noch nicht vergeben werden
wird.
Weltrekord: Forscher zerlegen riesige Zahl in Primfaktoren RSA200 zerlegt
Forscher der Universität Bonn und des Centrum voor Wiskunde
en Informatica (CWI) aus den Niederlanden haben mit Rechnerunterstützung
durch das Bundesamt für Sicherheit in der Informationstechnik (BSI) einen
neuen Weltrekord im Faktorisieren aufgestellt: die Zerlegung der Zahl RSA200.
Die Sicherheit bestimmter Verfahren zur elektronischen Signatur beruht auf
der Schwierigkeit, sehr große Zahlen in ihre Primfaktoren zu zerlegen.
Das trifft insbesondere auf den weit verbreiteten RSA-Signaturalgorithmus zu,
der 1977 von Ron Rivest, Adi Shamir und Len Adleman am Massachusetts Institute
of Technology (MIT) entwickelt wurde. Das BSI untersucht kontinuierlich, welche
Signaturverfahren den Vorgaben des deutschen Signaturgesetzes genügen,
und dafür ist auch eine Abschätzung des Aufwandes für solche
Primfaktorzerlegungen erforderlich. Die Zahl RSA200 hat 200 Dezimalstellen
und ist das Produkt zweier Primzahlen. Sie wurde von der amerikanischen Firma
RSA Security unter Geheimhaltung der Faktoren veröffentlicht, die Herausforderung
bestand darin, diese beiden Zahlen zu finden. Am jetzt aufgestellten Weltrekord
waren Professor Dr. Jens Franke, Dr. Thorsten Kleinjung und Friedrich Bahr
von der Universität Bonn, Peter Montgomery und Herman te Riele vom CWI
aus Amsterdam sowie das BSI beteiligt.
42. Mersenne-Primzahl gefunden
Dr. Martin Nowak,
ein Augenarzt aus Michelfeld, hat 225.964.951- 1 mit dem GIMPS-Mersenne-Programm auf einem seiner Praxiscomputer
als prim nachgewiesen. Die Zahl besitzt 7.816.230 Dezimalziffern. Insgesamt
24 PCs arbeiten im Augenzentrum des Arztes in ihrer "Freizeit" für
das Internet-Projekt GIMPS. Ein 16-fach-Itanium-2-System (Bull NovaScale 5000
HPC) brauchte nur fünf Tage, um die Primalität der nunmehr 42. bekannten
Mersenne-Primzahl zu bestätigen.
(as/c't)
41. Mersenne-Primzahl gefunden
Mittwoch 2.Juni 2004
Die Entdeckung einer neuen Rekord-Primzahl vermeldet ein internationales Computerprojekt
zur Primzahlsuche. Die Zahl besitzt 7235733 Stellen und lässt sich als
2 24.036.583 - 1 schreiben.
Der Privatrechner eines amerikanischen IT-Beraters brauchte zwei Wochen, um die besonderen Eigenschaften des Zahlenriesen zu enthüllen.
41. Mersenne-Primzahl (wahrscheinlich) gefunden
Samstag 15. Mai 2004:
(http://www.mersenne.org) Am 15. Mai hat wieder ein teilnehmender Rechner der
Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) Erfolg signalisiert. Nach ersten
Prüfungen sieht es ganz danach aus, dass tatsächlich eine neue Mersennesche
Primzahl gefunden wurde.
Diese bislang 41. Mersenne-Primzahl ist aber möglicherweise
kleiner als die größte derzeit bekannte Mersenne-Primzahl 220.996.011-1 mit über sechs Millionen
Dezimalziffern. Noch waren nämlich nicht alle Exponenten kleiner als 20.996.011
überprüft. Projektleiter George Woltman gab die neue Zahl noch nicht
offiziell bekannt, sondern er wartet erst einmal den Validierungslauf auf einem
anderen Rechner ab, kodiert mit anderer Software. Angesichts der Größe
der Zahl kann das noch ein paar Wochen dauern.
40. Mersenne-Primzahl entdeckt
Dienstag 2. Dezember 2003:
(www.heise.de) Nun ist es quasi amtlich, die 40. bekannte Mersenne-Primzahl
und damit die größte derzeit bekannte Primzahl überhaupt ist
220.996.011-1, eine Zahl
mit 6.320.430 Dezimalstellen. Unabhängige Verifikationsläufe von
George Woltman und Guillermo Valor konnten das von einem Teilnehmer des GIMPS-Projektes
(Great Internet Mersenne Prime Search) vor etwa zwei Wochen gefundene Ergebnis
auf anderen Rechnerarchitekturen mit anderen Algorithmen verifizieren, so dass
die Primalität nun als gesichert gelten kann. Entdeckt wurde die neue
Mersenne-Primzahl von dem Pentium-4-Rechner des Chemiestudenten Michael Shafer
aus Michigan.
Ob die Zahl allerdings auch wirklich M40 ist und nicht M41
oder M42 ist noch unklar,
denn nicht über alle Exponenten unterhalb von 20996011 gibt es schon Erkenntnisse
über die Primalität der zugehörenden Mersennezahl 2n-1. Mit
dem Erfolg baut die GIMPS den Vorsprung des Mersenne-Lagers vor der konkurrierende
Fermat-Gemeinde GFPS, weiter aus, die zwar bei weitem die meisten Zahlen in
der Top100-Liste der Primzahlen aufweisen kann, die aber mit der am 23. September
2003 gefundenen generalisierten Fermat-Zahl 13729302^17+1 mit "nur" 804,474 Dezimalstellen derzeit nur den sechsten
Platz hinter fünf führenden Mersenne-Primzahlen einnimmt. Diese wurden
allesamt von GIMPS entdeckt, deren circa 60.000 Teilnehmer ein Rechennetz (primenet)
mit etwa 9,5 Billionen Gleitkommaoperationen pro Sekunde (9,5 TeraFlops) ermöglichen,
das etwa Platz 4 der Supercomputer-Top500-Liste entspräche.
Für das von der Electronic Frontier Foundation ausgelobte Preisgeld ist
die gefundene Mersenne-Primzahl trotz ihrer rund 6 Millionen Ziffern aber noch
zu klein, sie muss schon als erste mehr als 10 Millionen Ziffern aufweisen
können, damit die Entdecker 100.000 Dollar einheimsen können.
Es war nicht die 40. Mersenne-Primzahl
Montag 16. Juni 2003:
(www.mersenne.org/prime.htm) 40th Mersenne prime not found On
June 1st a possible Mersenne prime was reported to the server. Unfortunately,
two independent verification runs proved the number was composite. This was
the first false positive report in 7 years. We are studying ways to reduce
the chance that cpu or memory errors can cause a false positive report.
Die Anfang Juni vom PrimeNet-Server der Great International Mersenne
Prime Search (GIMPS) entdeckte 40. Mersenne-Primzahl war keine, hat sich jetzt
herausgestellt. Am 1. Juni hatte das Projekt die Tatsache der Entdeckung zunächst
unter Vorbehalt und ohne Nennung der Zahl gemeldet. Wie sich durch zwei unabhängige
Prüfungen herausgestellt hat, war das die erste falsche Positivmeldung
in sieben Jahren. Das Projekt prüft nun, wie man in Zukunft durch Prozessor-
oder Speicherfehler verursachte Fehlentdeckungen vermeiden kann.
Primzahlen-Problem gelöst?
Neuer Algorithmus gefunden ?
Montag 12. August 2002:
(www.ntvcnn.de) Indische Forscher haben (wollen) nach eigenen Angaben ein 2.200
Jahre altes mathematisches Rätsel gelöst (haben): Die Computerwissenschaftler
entwickelten eine Methode zur Bestimmung von Primzahlen.
Ihr neuer Algorithmus könne erstmals fehlerfrei berechnen, ob es sich
bei einer Zahl um eine Primzahl handele, erklärten die Manindra Agrawal, Neeraj Kayal und Nitin
Saxena vom Indischen Institut
für Technologie in Kanpur.
http://www.cse.iitk.ac.in/news/primality.html
9 seitige Erklärung (engl.) PDF-Datei Primality.pdf
Uni Bonn: Primzahlenrekord mit Linux-Rechnern
Montag 4. Februar 2002:
(tecChannel.de) Mathematikern der Universität Bonn ist es nach eigenen Angaben gelungen, eine Zahl
mit 158 Stellen in ihre Primfaktoren zu zerlegen, das sei neuer Weltrekord.
Bei dem Versuch kamen keine Supercomputer, sondern handelsübliche Rechner
mit Linux zum Einsatz.
Der bisherige Rekord stammt aus dem Jahr 1999. Damals gelang es einem internationalen
Wissenschaftler-Team eine 155-stellige Zahl zu zerlegen. Das sei auch praktisch
eine relevante Schranke gewesen, teilten die Bonner-Mathematiker mit: Damalige
Verschlüsselungen basierten meist auf 512-stelligen Binärzahlen;
512 Binärstellen entsprechen aber 155 Stellen im Dezimalsystem.
Zahlreiche Verschlüsselungsverfahren beruhen auf einer mathematischen
Asymmetrie: Die Multiplikation von zwei Zahlen benötigt kaum Rechenzeit.
Die Zerlegung einer Zahl in ihre Teiler ist um viele Größenordnungen
aufwendiger. Die heute eingesetzten Codierungsverfahren verwenden in der Regel
Schlüssel mit über 512 Bit. "Sie sind durch unseren Rekord nicht
gefährdet", erklärt Professor Dr. Jens Franke vom Institut für
Mathematik an der Universität Bonn , der zusammen mit Dr. Thorsten Kleinjung
und Friedrich Bahr die 158-Stellen geknackt hat.
Um große Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen, werden in der Regel Supercomputer
eingesetzt. "Unser Rekord ist der erste dieser Art, bei dem ein Netzwerk
handelsüblicher Linux-Rechner zum Einsatz kam", so Professor Franke.
Jeder Einzelcomputer arbeitete dabei parallel an der Lösung eines Teilaspektes.
"Solche parallelisierten Programme sind selbst für sehr viel größere
Projekte einsetzbar", erklärt der Mathematiker. Gerade in der Endphase
müssen die einzelnen Rechner ihre Ergebnisse extrem schnell miteinander
abgleichen und neue Teilaufgaben verteilen. Zur Lösung dieser Aufgabe
hatten die Mathematiker auf das Know-how der Bonner Abteilung für wissenschaftliches
Rechnen und numerische Simulation zurückgegriffen.
Zusätzliche Informationen finden Sie in den Kryptographie-Grundlagen .
(uba)
20-Jähriger entdeckt größte bekannte Primzahl
Ein Mathematik-Enthusiast aus Kanada hat mit Hilfe eines weltumspannenden
Computernetzwerks die größte
bekannte Primzahl gefunden: Die Zahl 213.466.917- 1 hat 4.053.946
Stellen und ist wie alle Primzahlen nur durch 1 und sich selber teilbar. Der
Entdecker ist der 20-jährige Michael Cameron, der mit seinem Computer am so genannten GIMPS-Projekt
teilnimmt, meldet das amerikanische Wissenschaftsmagazin "Science"
in seiner Online-Ausgabe. Dieses Netzwerk von Freiwilligen aus aller Welt nutzt
die Rechenkapazität von Computern, an denen gerade nicht gearbeitet wird,
für die Suche nach immer größeren Primzahlen. Ähnliche
Projekte gibt es auch für die Suche nach außerirdischem Leben oder
neuen Medikamenten gegen Aids.
Die neue Superprimzahl löst den mit zwei Millionen Stellen wesentlich
kleineren bisherigen Rekordhalter ab, den GIMPS-Teilnehmer vor zweieinhalb Jahren ausfindig gemacht hatten. Ein
Supercomputer soll den Fund diese Woche noch bestätigen. Auch wenn der
Nutzen selbst für Zahlentheoretiker gering ist, soll die Suche nach noch
größeren Primzahlen weitergehen.
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